读《证明数学归纳法与反证法本身》有感 ​

转载自 子虚栈

今天偶然读到子虚栈老师的一篇旧文，讲的是数学归纳法和反证法本身的证明问题。读完之后，有种豁然开朗的感觉，想写点东西记录一下。

我们真的理解这些方法吗 ​

数学归纳法和反证法，这两个东西从初中就开始用了。数列求和用它，不等式证明用它，各种数学问题的证明都离不开它。

但说实话，用了这么多年，我从来没有想过一个问题：这两个方法本身为什么成立？

为什么假设 n 成立，就能推出 n+1 成立，然后就能说对所有自然数都成立？这不会太武断了吗？

为什么证明一个命题，要先假设它是错的，然后推出矛盾，就能说它是对的？这逻辑上说得通吗？

这些问题，可能很多人和我一样，从来没有想过。我们只是把它当作工具，用就完了。

但作者不一样，他真的要追问下去，追问到最底层的公理。

数学归纳法的根基 ​

原来，数学归纳法不是凭空而来的，它是皮亚诺公理的第五条。

皮亚诺公理是什么？是自然数的定义。换句话说，数学归纳法之所以成立，是因为自然数本身就是这么定义的。

作者用集合论来解释，说自然数集是所有归纳集的交集，是最小归纳集。它只有以 0 为起点这一条链。所以，只要能证明 P(0) 成立，并且 P(n) 成立能推出 P(n+1) 成立，那么 P 对所有自然数都成立。

这个解释，让我第一次真正理解了数学归纳法。

以前用的时候，总觉得有点玄乎。现在明白了，它不是玄乎，而是建立在坚实的公理基础之上。

反证法的逻辑基础 ​

反证法的依据，是矛盾律和排中律。

矛盾律说，两个互相矛盾的命题不能同时为真。排中律说，两个互相矛盾的命题必有一个是真的。

这两个定律，看起来简单，但却是整个逻辑推理的基础。

作者举了个例子，要证明"若人活着，则不需要吃饭"，先假设它的否定命题"若人活着，则需要吃饭"，然后推出这个否定命题是成立的，所以原命题不成立。

这个例子很生动，让我一下子明白了反证法的逻辑。

为什么我们要追问 ​

读这篇文章，我最大的感触是：我们太习惯于接受现成的东西了。

老师教我们数学归纳法，我们就用它。老师教我们反证法，我们也用它。但很少有人会问：这些东西本身为什么成立？

这种追问的精神，可能才是学习的本质。

不是被动地接受知识，而是主动地探索知识的根基。不是满足于"怎么用"，而是追问"为什么能用"。

这种精神，不仅适用于数学，也适用于其他领域。

技术学习中的追问 ​

我想到了自己学编程的经历。

学一个框架，老师说要这么写，我就这么写。学一个算法，书上说要这么做，我就这么做。但很少会问：为什么这么写？为什么这么做？

结果就是，只会用，不会改。一旦遇到问题，就束手无策。

或许，我也应该多一点追问的精神。

追问这个算法为什么有效，追问这个框架为什么这么设计，追问这些技术背后的原理是什么。

只有这样，才能真正掌握一门技术，而不是只会用它。

最后 ​

这篇文章让我看到了追问的力量。

追问到最底层的公理，追问到最本质的原理，才能真正理解一个东西。

这种理解，不是表面的理解，而是深入骨髓的理解。

有了这种理解，才能灵活运用，才能举一反三，才能创新。

感谢子虚栈老师的这篇文章，让我看到了学习的另一种可能。

不是浮于表面，而是深入本质。

不是被动接受，而是主动探索。

这或许才是学习的真谛。

原文：证明数学归纳法与反证法本身
作者：秉
转载自：子虚栈